定理１　m>1であるとき、π_m(S¹)=0

定理２　m<nであるとき、π_m(Sⁿ)=0

定理３　m>0であるとき、π_m(S^m)=Z

定理４　任意の素数pに対して、S³のホモトピー群π_m(S³)で最初にp-torsionが現れるのはm=2pのときであり、π_2p(S³)=Z/pである。

よりグローバルな球面のホモトピー群の構造を示す定理としては、次のようなものが知られている。

フロイデンタールの懸垂定理（Freudenthal Suspension Theorem）

n≧k+3≧3とする。このとき、π_k+n(Sⁿ)はπ_2k+2(S^k+2)と同型である。

セールの有限性定理（Serre Finiteness Theorem）

球面のホモトピー群の元は、π_n(Sⁿ)=Zとπ_4m-1(S^2m)（ただしm>0）を除いて全て有限群。後者は整数環Zを直和成分として１つだけ含む。

Cohen-Moore-Nisendorfer Exponent Theorem

p≧3とする。π_*(S²ⁿ⁺¹)のp成分の任意の元はpⁿ倍すればゼロになる（注：p=3の場合はPaul Selickの結果）。

フロイデンタールの懸垂定理により、nが十分に大きなときπ_k+n(Sⁿ)はnによらないでπ_2k+2(S^k+2)と同型になる。これをπ^S_kで表し、球面の安定ホモトピー群のk-stemと呼ぶ。次の結果が知られている。

西田のゼロべき定理（Nishida Nilpotence Theorem）

任意のπ^S_kの元αに対してある自然数mが存在して、α^m=0となる。