ラグランジュの定理 任意の整数は、４つの整数の平方和で表せる。
私はこれの証明として、例えば四元数を用いたものなどは知っている。もっと初等的なものもあるらしいが、知らない。また、「任意の整数は、９つの立方数の和で表せる」というのもあるらしいが、私は証明を知らない。
例えば、次のようになることが分かる。
| 0=02+02+02+02 1=12+02+02+02 2=12+12+02+02 3=12+12+12+02 4=12+12+12+12 5=22+12+02+02 6=22+12+12+02 7=22+12+12+12 8=22+22+02+02 9=32+02+02+02 |
10=32+12+02+02 11=32+12+12+02 12=32+12+12+12 13=22+22+22+12 14=32+22+12+02 15=32+22+12+12 16=22+22+22+22 17=32+22+22+02 18=32+22+22+12 19=32+32+12+02 |
20=32+32+12+12 21=42+22+12+02 22=42+22+12+12 23=32+32+22+12 24=42+22+22+02 25=52+02+02+02 26=52+12+02+02 27=52+12+12+02 28=52+12+12+12 29=52+22+02+02 |
注：青で示したものはこれ以外の表し方が無いが、他のものは例えば次のように他の表し方がある：
4=22+02+02+02
9=32+02+02+02
10=22+22+12+12
12=22+22+22+02
13=32+22+02+02
16=42+02+02+02
17=42+12+02+02
18=42+12+12+02
19=42+12+12+12
20=42+22+02+02
21=32+22+22+22
22=32+32+22+02
25=42+32+02+02
26=32+32+22+22
27=42+32+12+12
28=42+22+22+22
29=42+32+22+02